Родился 23 января 1912 года в Москве. Окончил режиссерский факультет Государственного института театрального искусства. Дипломная работа Бориса Покровского – опера Кармен Ж.Бизе была поставлена на сцене Горьковского государственного театра оперы и балета имени А.С. Пушкина. Спустя год Покровский стал художественным руководителем этого театра.

Преподавал в ГИТИСе на кафедре музыкального театра. Главный режиссёр Большого театра в 1952—1963 и 1970—1982 годах. С 1972 года — руководитель Московского государственного академического камерного музыкального театра (МГАКТ). Лауреат Ленинской премии, четырёх Сталинских премий и Государственной премии России, профессор. Народный артист СССР. 

Поставил более 180 спектаклей. В 1946 году впервые была поставлена опера «Война и мир» С. Прокофьева в Ленинграде. Борис Александрович является первым постановщиком всех опер Сергея Прокофьева.

Борис Покровский только на сцене Большого театра создал более 40 оперных постановок. Среди них: “Садко” Н.А.Римского-Корсакова (1949), “Свадьба Фигаро” В.А.Моцарта (1956), “Судьба человека” И.И.Дзержинского (1961), “Руслан и Людмила” М.И. Глинки, “Мертвые души” Р.Щедрина (1977), “Млада” Н.А.Римского-Корсакова (1988), “Орлеанская дева” П.И.Чайковского (1990), “Франческа да Римини” С.В. Рахманинова (1998) и другие.

Внес значительный вклад в развитие российского и мирового оперного искусства. Много работал за рубежом, в Европе и Японии.

Автор ряда книг: “Размышления об опере”, “Сотворение оперного спектакля”, “Введение в оперную режиссуру ”,  “Режиссура музыкального театра: Для студентов театральных вузов” и др.

Скончался 5 июня 2009 года, похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.